8和9的最小公倍数是多少（可能是当时世界最高水平）

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• 1、8和9的最小公倍数是多少
• 2、黄药师数学水平有多高，可能是当时世界最高水平

1、8和9的最小公倍数是多少

72。因为8和9互质，所以8和9的最小公倍数是8×9=72。

公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。

最小公倍数：两个或多个整数的公倍数里除0以外最小的一个公倍数叫做它们的最小公倍数。

2、黄药师数学水平有多高，可能是当时世界最高水平

《射雕英雄传》中，黄蓉被裘千仞重伤后，和郭靖误入黑沼，遇到了瑛姑，两人展开了一场精彩的数学比赛，结果当然以黄蓉的碾压式胜利告终，那么瑛姑的数学水平是不是很低呢？

我们先来看看瑛姑做的数学题再下结论吧。

瑛姑算的第一道题是计算五万五千二百二十五的平方根。这是《九章算术》第四章《少广》研究的内容，“少广以御积幂方圆。”说白了就是已知长方形面积和立方体体积求其变长，再说清楚点就是求解平方根和立方根的算法。

这在当时算不上数学的尖端，毕竟《九章算术》在汉朝就已经成书了，而且还给出了世界上最早的求解平方根和立方根的程序，不过要想解出来还是要靠一定技巧的，就跟我们现在已经知道了一元二次方程的解法，可是考试的时候也有可能会算错，这只能说黄蓉确实是一个学霸，她可以一眼看出答案来。

第二道题是求三千四百零一万二千二百二十四的立方根，这出自于北魏的《张邱建算经》，还是黄蓉轻松胜出。

这下瑛姑恼了，干脆搬出了九宫图，这就有点可笑了，九宫图就是河图洛书呀，那可是中华术数的基础，奇门遁甲都是从这里演变出来的，只要读过《易经》的都懂呀，就算没有读过易经，也总听说过大禹治水吧，传说中河图洛书就是大禹治水时出现的。

来引一段原文吧。

“右洛书，刘牧传之。一与六合而为水，二七为火，三八为木，四九为金，五十为土，十即五也”。

这基本上就是常识了，可瑛姑居然不知道，看来她的基础知识不扎实呀，黄蓉那么聪明当然立刻就看出来了瑛姑的缺陷，随后给她出了三道题，这就是故意难为瑛姑的。

第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、罗、计都的“七曜九执天竺笔算”；第二道是“立方招兵支银给米题”。

这就是黄蓉在欺负人了，第一道题其实就是计算天文历法的，在各朝各代都是禁书，只有皇家官方机构的钦天监才可以学习，当然了黄药师武功高强偷两本这种书应该问题不大，可瑛姑肯定是没有这个本事的，就算大理段家有，她出宫时也不知道这个有用，也不会带两本出来。

第二道题其实是四次方程的解法，这个太难了，不要说当时，就是世界数学史上也要到1545年才有一般解法，最欺负人的是这道题是在元代才有的，那个时候人们根本就不考虑这方面的问题，黄蓉是在拿未来的数学题来考瑛姑呀，就算黄药师也不会呀。

出了这两道题之后，黄蓉也有点不好意思，给了一道简单一点的，这就是鬼谷算题，这道题出自于四、五世纪的《孙子算经》，著名的“鸡兔同笼”就出自于这本书。距离射雕年代大约有一千年，按理说瑛姑应该很容易做出来的，可是她还是不会，看来瑛姑的数学水平堪忧呀。

那咱们就看看这第三道题。

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：‘二十三’”。

看到没有，人家可是连答案都写出来了，可是瑛姑居然没有看过这本书，这也难怪，她连河图洛书都不知道，何况这种专业的数学著作呢，不过瑛姑还是算出来了，她用的就是最笨的筛选法，我们先来看看瑛姑的笨法吧。

瑛姑的笨法就是先列出被3整除余数是2的数，就是这些：2、5、8、11、13、14、17、18、20、23、26、29、33……

再写出被5整除余数是3的数：3、8、13、18、23、28、33……

最后写出被7整除余数是2的数：2、9、16、23、30、37……

瑛姑看到了一个相同的数就是23，这就是说23满足三个条件，那么23就是答案。

瑛姑也知道要是这么一直写下去的话，满足要求的答案有无数个，不过这么写下去的话有点太难了，她需要的是一种通用解法。

看在老顽童的面子上，我们来帮助一下她吧

先用代数语言翻译一下这道题。

设这个数为s，依据题意得：

S=3x+2=5y+3=7z+2

只要求出x、y和z来就可以了。

再解题之前，先来看一个简单的类似问题，就是韩信点兵。

韩信点兵说的是韩信不知道有多少兵，他让士兵们俩人一排走过去，结果最后剩下一个人，三人一排走过去结果剩下两人，四个人一排最后剩下三个人，五个人一排剩下四个人，以此类推，九个人一排走过去就剩下了八个人。

用代数语言表示一下就是：

S=2a+1=3b+2=4c+3=5d+4=6e+5=7f+6=8g+7=9h+8

这和孙子算经是很相似的，有一点不同的是最后的余数都相差1，这就好办了，只要再借给韩信一个兵就可以了，就全部可以整除了。

于是式子就变成了

S+1=2（x1+1）=3(x2+1)=4(x3+1)=5(x4+1)=6(x5+1)=7(x6+1)=8(x7+1)=9(x8+1)

好了，现在就变成了S+1是一个能被2、3、4、5、6、7、8和9整除的数，这就是2、3、4、5、6、7、8和9的最小公倍数呀，求最小公倍数的方法我们都会呀，，结果就是5×6×7×8×9=2520，由于我们借给了韩信一个兵，再把这个兵去除就可以了，所以答案就是2520-1=2519，同样这还是有无数个答案，用公式表示就是2520n-1，n就是正整数。

我们现在知道了解这种题的根本就是把余数消除，然后求最小公倍数，那就用这个方法来算一算这道题。

这道题和韩信点兵不同都是韩信点兵的余数很容易凑成整倍数，只要借给韩信一个兵就可以了，而孙子算经中就不能这样，要是借给1个，第一项三三数之满足了，第二项五五数之还是不能满足整数倍，要是借给2个，五五数之满足了，另外两个就不能满足，同理借给5个，七七数之满足了，另外的又满足不了了。

那就多借给几个呗。

先列出式子来，

S=3x+2

S=5y+3

S=7z+2

到底借给几个好呢，咱们不是瑛姑都会的筛选法吗，瑛姑都会我们没有理由不会呀。

对于三三数之来说，就是第一个式子，满足成为整倍数的数量分别是1、4、7、10、13、16、19、22、25……70、73、76、79、82、85、88……

对于五五数之来说，就是第一个式子，满足成为整倍数的数量分别是2、7、12、15、18、23、28、31……72、77、82、87、92……

对于七七数之来说，就是第一个式子，满足成为整倍数的数量分别是5、12、19、26、33、40、47、54、61、68、75、82……

好了，终于看到了一个相同的数字82，那么就借给82个就可以了。

于是就变成了s+82=3x=5y=7z，只需要求3、5、7的最小公倍数就可以了，这样s=3×5×7+82=105+82，当然了，答案也不止一个，公式就是s=105k+82，在韩信点兵中n是正整数，在这里就没有必要了，我们只要保证s是正整数就可以了，这样的话n就可以为0也可以为-1，n=-1时，s=23，这就是瑛姑筛选出来的答案。

这种算法比起瑛姑的笨来高明了不少，不过还是用到了一部分筛选，其实在《孙子算经》中记载的算法就非常高明，根本就没有用到筛选，我们来看看老祖宗的智慧。

“术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。”

咱们用现代语言翻译一下。

63就是3和7的最小公倍数乘以五五数之剩下的3，用数字表示就是63=3×（3×7）。

30就是3和5的最小公倍数乘以七七数之剩下的2，用数字表示就是30=2×（3×5）。

140有点特殊，它是5和7的最小公倍数乘以2再乘以三三数之剩下的2，用数字表示就是140=2×（2×5×7），为什么它这么特殊，等一下再说，继续往下翻译。

然后把这三个数相加就是140＋63+30=233，再减去210,210是什么？它就是3、5、7的最小公倍数105的2倍呀。

用式子表示一下吧，就是70×2+63+21-210=23.

不过这才是一个最小解，很容易看出来这有无穷多个解，这也不难，可以把式子写成这样：s=70×2+21×3+2×15+105n

其中70可以被5和7整除，同理21可以被3和7整除，15可以被3和5整除，后面的2、3、2就是题中的三三数之五五数之七七数之的余数，现在可以说一下为什么是140了，其实140就是70×2，问题就成了为什么是70了，因为70符合被5和7整除且除以3余数2，而35是不符合题意的，所以舍去了。

这里n可以取负值，因为我们要保证s是正整数，这里n=-2，就是n只要是大于等于-2的整数就可以了，很明显这就有了无穷多个解。

但是这个题目说的余数分别是2、3、2，要是换成别的余数呢，这个公式照样成立，咱们把余数换成abc吧，这样公式就变成了s=70a+21b+15c+105n。

这就成了黄蓉念的那首诗了。

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”

意思就是把除以3所得的余数用70乘，把除以5所得的余数用21乘，七子团圆正半月，把除以7所得的余数用15，把这三个乘积加起来再去除105的倍数就知道答案了。

注意一点，这里的“除百零五便得知”的“除”不是除以的意思，而是去除就是减去的意思。

这就是老祖宗的智慧。

这首诗才是真正的欺负人，这首诗是明代学者程大位写的，距离南宋还有上百年呢，拿未来的诗来考瑛姑，她是绝对不会的，当然了黄蓉也不会，不过黄蓉这宋代才女都能穿越到未来背元代张养浩的《潼关怀古》，再穿越一次到明代也无所谓了。

从这里也可以看出来，瑛姑就是一个假装在努力的学生，别看她天天算来算去，结果连课本都舍不得去找一本，这种学习态度不行呀，而黄蓉呢，家里辅导书一堆不说，还有一个好老师，课后练习题基本上都会，不过蓉儿也不咋地，要是遇到课本上没有的题她就不会了。

不信咱们看段原文。

“洪七公道：‘肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了。’黄蓉微笑道：‘若是次序的变化不计，那么只有二十五变，合五五梅花之数，又因肉条形如笛子，因此这道菜有个名目，叫做‘玉笛谁家听落梅’。’”

其实这就是一道组合的题，五种肉单吃是5种味道，两两混合是10种味道，三三混合也是10种味道，四四混合又是5种味道，五种肉一块吃还有1种味道，这样算下来一共是5+10+10+5+1=31种味道，这怎么会是25种，就算黄蓉不懂排列组合，用一下瑛姑的笨法一个个列出来也能算对呀。

不过这对于黄帮主来说无所谓了，反正除了她那个牛逼爹也没有人能指出她错误来，可是黄岛主有必要指出宝贝女儿的错误来博老叫花子一笑吗？

这么看来的话，黄药师肯定是懂得孙子算经的，那么再难一点呢？孙子算经说的是三三数之五五数之七七数之，要是再加上十一十一数之十三十三数之呢，黄岛主还会解吗？这还真不好说。

黄岛主不好说，不代表别人不好说，秦九韶就写出了这种问题的一般解法。

秦九韶也是宋朝人，他把这个问题推广到了一般情况，他称之为“大衍求一术”，并发表在他的《数书九章》中，翻译成现代语言呢，就是这样的。

设d1、d2、d3……、dn互为质数，设s分别被d1、d2、d3……、dn除所得的余数为r1、r2、r3……、rn，则s=k1r1+k2r2+k3r3＋……＋knrn＋Kd。其中D是d1、d2、d3……、dn的最小公倍数，ki是d1、d2、d3、……、di-1、di+1、……、dn的公倍数，并且被di除所得的余数为1，k为任意整数。

这个一般解就是著名的中国剩余定理，直到19世纪才由数学王子高斯求出，这是我们为数不多的可以号称世界第一的数学理论。

而且秦九韶还有可能见过黄药师，他出生于1208年，去世于1268年，和黄药师处于一个时代，为什么这么说，因为张三丰出生于1247年，就在张三丰出生那一年他得出了中国剩余定理，而那时候黄岛主正好在云游天下，而传说秦九韶还曾经和一位精通数学的隐士学习过数学，这么算的话，说不定秦九韶见到的就是黄药师。

1970年，苏联青年数学家马季亚谢维奇解出了希尔伯特提出的23个问题中的第十个问题丢番图方程可解性的判别问题，他用到的就是秦九韶提出的中国剩余定理，要是秦九韶泉下有知，相信也一定会很欣慰。

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