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1、牛顿莱布尼茨公式,牛顿莱布尼兹公式
牛顿莱布尼茨公式是:f(x)dx=F(b)-F(a),牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibnizformula),通常也被称为微积分基本定理,揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
微积分数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。
2、证明牛顿-莱布尼茨公式
牛顿362、证明牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨(cí)公式(百度百科):…
…牛顿-莱布尼茨(cí)公式:见《牛顿358、359》…
推导
…推、导、推导:见《欧几里得7》…
(…《欧几里得》:小说名…)
定义一个变上限积分函数Φ(x)=∫[a,x]f(t)dt,让函数Φ(x) 获得增量△x,则对应的函数增量为:
△Φ(x)=Φ(x+△x)-Φ(x)
=∫[a,x+△x]f(t)dt-∫[a,x]f(t)dt
=∫[x,x+△x]f(t)dt (定积分对区间的可加性)
…定、义、定义:见《欧几里得28》…
…函、数、函数:见《欧几里得52》…
…Φ:第21个希腊字母。读音:fài…见《牛顿359》…
…∫:积分符号,为字母s的拉长…见《牛顿338》…
…d:differential(微分)首字母…
[differential(英语):n.(名词)差别;差额;差价;(尤指同行业不同工种的)工资级差。
adj.(形容词)差别的;以差别而定的;有区别的。
——《牛顿321》
dx什么意思??——网友提问
2019-09-07,想玩游戏的猫:d(x)代表对x求微分。
dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思,也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是,微分的意思。
dx就是对x的微分,是把增量细微化,dx就是很小很小的一个x。
——《牛顿3》]
…变上限积分函数Φ(x)=∫[a,x]f(t)dt:见《牛顿359~361》…
…△:读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。
在物理学中,△常常作为变量的前缀使用,表示该变量的变化量,如:△t(时间变化量)、△T(温度变化量)、△X(位移变化量)、△v(速度变化量)等等…见《牛顿8》…
…性:1.物质所具有的性能;物质因含有某种成分而产生的性质:黏~。弹~。药~。碱~。油~。2.后缀,加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词,表示事物的某种性质或性能:党~。纪律~。创造~。适应~。优越~。普遍~。先天~。流行~…见《欧几里得10》…
……
推导一
定义一个变上限积分函数Φ(x)=∫[a,x]f(t)dt,让函数Φ(x) 获得增量△x,则对应的函数增量为:
△Φ(x)=Φ(x+△x)-Φ(x)
=∫[a,x+△x]f(t)dt-∫[a,x]f(t)dt
=∫[x,x+△x]f(t)dt (定积分对区间的可加性)
根据积分中值定理可得:△Φ(x)=∫[x,x+△x]f(t)dt=f(ξ)△x,(ξ在x和x+△x之间)
…ξ:大写Ξ,小写ξ,是第十四个希腊字母,中文音译:克西。
小写ξ用于:数学上的随机变量…
{定积分中值定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ,使∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)。(a≤ξ≤b)
证明见《牛顿351》。}
根据导数定义,得:
Φ’(x)=lim(△x→0)△Φ(x)/△x
=lim(△x→0)f(ξ)△x/△x
=lim(△x→0)f(ξ)
=lim(ξ→x)f(ξ)
=f(x)
(“‘△x→0’和‘ξ→x’是同种数学事实的不同表达,所以等价。”现代学者说。)
…导、数、导数:见《牛顿288~294》…
…lim:limit…
[…limit(英文):n.限度;限制;极限;限量;限额;(地区或地方的)境界,界限,范围。
v.限制;限定;限量;减量…]
即:Φ’(x)=f(x)
由不定积分的定义,得:
∴ Φ(x)=F(x)+C
∵ Φ(a)=F(a)+C=0
∴ C=-F(a)
∴ Φ(x)=F(x)+C=F(x)-F(a)
Φ(x)=F(x)-F(a)
∴ Φ(b)=F(b)-F(a)
即:∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)
证毕。
“1670年,英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题,这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。
请看下集《牛顿363、牛顿-莱布尼茨公式发展简史》”
若不知晓历史,便看不清未来
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